第106章 简单的，困难的
第106章 简单的，困难的
“空间变换？”
“对，你是学计算机的，不是学数学的，所以不要去死扣教材上的概念。
听起来你们教授上课只是教你们如何计算而已。达到这个教学目標的確只需要背公式就足够了。”
乔源解释道。
“然后呢？”夏汐月虚心的继续问道。
“把矩阵当成了空间变换就很好理解特徵值了。丟一个向量给矩阵，然后就能得出一个新的向量。
比如现在有一个2x2的矩阵a，你隨便拿一个向量乘它，就会得到一个新的向量。这一过程中它们的几何意义会发生一些改变。
在坐標轴上的看来就是向量的方向变了。当然这是最简单的一种情况，但绝大多数的情况下，通过矩阵乘法方向都会发生变化。
特徵值就代表那些特殊情况。算的多了你就会发现有些特殊的向量乘了矩阵之后，它们的方向並没有改变。
它们在坐標轴上的指向依然跟在变换之前一样，区別只是这条线被拉长或者缩短了。
这一类经过矩阵变化但方向不变的向量就是特徵向量，这些向量被拉长或者缩短的倍数就是你无法理解的特徵值。
把这个理解套进你已经背下来的公式，也就是av等於λv。答案就很明显了。
a代表矩阵，v则代表向量，也就是矩阵a对向量v做了一次变换，等號代表线两端指向的方向不变，但是长度变成了之前的入倍。
更深入的理解，你会发现入的值决定了变换之后的结果。比如入大於1代表变长了，小於1但大於零，代表缩短了。
如果小於0则代表不但被拉伸了，还被反射。如果等於零，则代表著降维，从线变成了点。也是课本上说的压缩到了零向量。
夏汐月恍然大悟的点起头来。
“所以你们研究数学就是这样联想的？”
“也不全是，会更复杂。”
乔源耐心的答道：“因为推广到一些复杂情况，这些东西会很抽象。比如无限维空间中的算子。
举个例子，一个函数空间，向量是一个函数，空间由无限多个基函数张成。
算子也已经不是矩阵，而是对函数的操作。这就更自由了。代价就是已经没法用可视化来做比喻。
你们计算机可能不需要学数学物理，你接触一下就知道。比如波函数，给你一个动量算子操作，来求特徵值。
而且到了无限维，算子还可能是不连续的。比如微分算子作用在函数上，函数一个微小跳跃，导数就会爆炸。
这可能需要等你接触到狄利克雷函数的导数处处不连续就能理解了。所以很多数学文章里会去定义弱收敛，强收敛，否则就无法保证解的存在性。
所以像你问的这些简单定义我还能用比较直观的几何方式给你解释。但推广到无限维之后，我能想到，但没法用语言去解释。
我打个比方啊，傅立叶变换会將时域函数旋转到频域，这个操作我脑子里的函数构成都被彻底改变了，而且是非常复杂的变化，我不知道该怎么去描述。”
夏汐月仔细思索了半晌，才开口说道：“你的意思是在时域函数做傅立叶变换的时候脑子里都能產生画面感？”
乔源点了点头。皱著眉头思索了片刻才说道：“一定要做个描述的话，就好像原本是一团不同顏色的乱麻纠缠在一起。
经过变换之后，这些乱麻被分出了顏色，然后相对整齐的排列在一起。对不起，虽然这个描述还是不那么准確，但已经是我能想到最贴切的形容了。”
夏汐月嘆了口气。
“哎————人跟人的差別也太大了吧？”
乔源一时间不知道该怎么继续聊下去。
有些东西的確很难解释。尤其是到了抽象数学的领域。
以前他以为大家都是一样的。能找到那些抽象中的关键脉络。
但现在他知道这是一种很难得的能力。
不管是陆院士还是袁老，他们看重的都是他这种能力。
以前乔源也无法理解为什么老师刚讲过一道数学题，只是稍微变形，本质还是一模一样的，一堆人马上就不会做了。
但现在乔源大概理解了，太多人根本无法看透题目背后本质的东西。
从这一点说，他觉得夏汐月就很聪明。
起码她在试图去理解一个重要数学概念，而不是简单的按照教授的要求给死记硬背下来。
前者的好处是，能將这个概念灵活的用於很多地方。后者则只能用来做计算题————
总之能有这种意识就已经很不错了。
乔源没有回答，问完了问题后夏汐月大概也在消化刚才乔源说的內容，两人就这样默默走到了图书馆。
刚进门，乔源又主动说了句：“说实话，你学计算机其实不需要对数学最前沿的那些东西有太深入的了解。
因为意义不大。很多数学方面的定理只需要会用就足够了。一定要较真的话，会很累。
就比如泰勒展开，很多工程师也不懂数学原理，但並不耽误他们去使用，甚至很多人用的比数学家要更熟练。”
夏汐月好奇的问道：“你怎么知道很多工程师都不懂泰勒展开的数学原理？”
乔源答道：“小时候我爸告诉我的。”
隨后又解释道：“我小时候自学数学分析讲级数展开的时候都遇到了这类问题，就问我爸原理。
他告诉这个他只会用，原理不懂，让我自己去查资料。还说很多工程师也不懂原理，但用得比大学教授熟练得多。”
解释完，乔源突然感觉没了什么底气。
小时候他对老爹的话从来都是深信不疑的。
不过现在回想起来，他其实有点怀疑自家老爹当时理直气壮、振振有词的说辞也可能只是在挽尊。
因为那时乔国庆还在经营那家维修电器的铺子。理论上说做家电维修好像也没太多机会接触什么正经工程师。
好在夏汐月也没深究这些。毕竟能在小时候就开始自学数学分析本就又是一种让正常人难以理解的行为模式。
毕竟哪个正常人会在大学之前接触泰勒展开呢？
好在进了图书馆就没这么多烦恼了。
两人都有事情要做，更別提图书馆本就要求安静。
不过今天的情况似乎有些不一样。
自习期间夏汐月的电话响了好几次。
每次都不得不走出图书馆的自习室到外面接电话。
就这样到自习结束，两人习惯性一起去南门吃宵夜的时候，乔源还没问夏汐月便主动说道：“刚刚学生会，团委都在通知。
国庆之后就会有京城的调查组进驻学校，开始对学校各方面进行调查。让我们学生会要配合学校做好各方面工作。”
乔源点头，然后脑子里下意识就浮现出袁意同走的时候说的那番话。
诸如什么做人不能太软，不要有什么伸手不打笑脸人的想法。
还有別看你们肖校长今天態度很好就以为他脾气好，真要是脾气好根本当不上校长————
乔源突然有种感觉，这次大概率还是他那两位导师又出手了。
通过这种方式教他该怎么做未来的一方学阀？还是在告诉他以后该怎么爱护学生？
可惜了，他还真猜不到最后会做到什么程度。
於是乔源忍不住问了句：“有没有说调查什么？”
夏汐月毫不犹豫的答道：“老师没说，不过一位师兄说是这次调查组规格很高，而且来的人也很多。
说是学生管理工作、教师职称管理考核，还有一些学科评审跟科研资金使用情况都要查，听说还有专门的审计专员。
不过这些也是那位师兄正好听到一位团委老师打听到的。还说千万別传出去”
。
“放心吧，我肯定不会跟別人说的。”乔源隨口承诺了句。
心里却开始感慨，这还————真狠啊！
也不知道校领导现在还能不能睡得著。
也就是这一刻，乔源对袁老口中的人不狠站不稳突然有了全新的认知。
彼得·萨纳克从床上起来时候已经是十点半。
虽然只睡了大概四个小时，但他此时觉得精神很充沛。
人到了一定年纪大概会走两个极端。绝大多数人会进入睡眠很浅的状態。
但彼得·萨纳克不一样。
他睡眠一直挺好的。而且只需要较短时间的休息，就能完全恢復精神。
当然他年轻的时候也属於那种少觉基因。
简单的洗漱之后，彼得·萨纳克没有忙著去读那篇还没读完的论文，而是先拿起电话，翻出了麦可·乔丹的號码，然后打了过去。
事实上他早上就想打这个电话了。不过考虑到他跟麦可·乔丹之间还没熟到可以毫无顾忌的打扰对方休息的地步，还是选择了起床之后再拨这个號码。
——
他希望能得到麦可·乔丹对乔源第一篇论文的真实评价。
很快电话接通。
“嗨，麦可，最近如何？”
“很幸运，还活著呢。当然如果能够拿到被无端剋扣的经费大概能更好一点。
"
“哎————都一样。”
不需要说的太多，大家都知道对方指的什么。
说起来普林斯顿要比加州那些大学要稍微好那么一点。
当然好的也有限。
总之当蛋糕不够分了，从天而降的一刀终究还是落到了他们这些教授的头上。
不过话又说回来，如果连麦可·乔丹都觉得开始缺钱了，那说明情况很严重了。
毕竟大家都知道这位人工智慧之父跟很多公司都有较为深入的交流跟合作，所以压根就不太可能缺项目。
“有什么事吗？彼得，我这边马上还有个会要开。”
麦可·乔丹主动说道。
“是的，你最近审核了一篇来自於华夏，嗯，叫————qiao的论文，对吧？”
“是的，我对这篇论文印象很深刻，他的研究对我正在做的一个课题帮助很大。我想跟他们合作，可惜被拒绝了。
“”
“也就是说你很看好这篇论文？”
“当然，首先你要告诉我是哪方面的看好。”
犹豫了片刻，彼得·萨纳克还是如实把情况说了出来：“他近期跟另一人合作，投给了数学年刊一篇论文，解决了勒让德猜想。
我作为审稿人已经大致看过了论文，这篇论文的核心引用了你审核那篇论文的一个重要引理。”
吐露的实情也瞬间让电话对面的麦可·乔丹来了兴趣。
“哈，我明白了，难怪袁会卖关子！”
“什么卖关子？”
“他不肯告诉我qiao的身份，只说不久之后我肯定有机会认识他！原来如此”
o
彼得·萨纳克恍然。
的確，一个数学新人，看上去主攻的数学优化，但一出手却解决了勒让德猜想，並在优化理论跟数论之间架起一座桥樑。
这样的数学新人的確会快速引起世界数学界的注意。
“但他是怎么办到的？！让我想想————虽然我是审稿人，但我实在想不出哪个引理会跟勒让德猜想扯上关係！”
“麦可，是我先打电话问你的！”
“哦！好吧，好吧！如果你要问我对那篇论文的评价，我的答案是证明思路近乎完美。
知道吗？最初我是让我的学生审核，但他又把论文给我。当我发现这篇论文跟我最近的研究有相关之处，我是抱著挑剔的心態去审核这篇论文的。
但我依然没有找到任何逻辑漏洞。当然也可能是我的水平不够，有些漏洞我没有发现。
不过你既然是问我的个人看法，那就是完美！”
得到了答案之后，彼得·萨纳克乾脆的开口说道：“谢谢你，麦可，再见。
"
“等等，你还没告诉我是哪个引理建立的联繫。”
“你確定要现在聊？我记得你刚才说要开会了。如果你不嫌说来话长的话——
”
“好吧，我等会儿再给你回电话，再见！”
掛了电话，彼得·萨纳克耸了耸肩，隨手把电话设置成了语音信箱的模式。
他要让麦可·乔丹知道，不止是华夏人会卖关子。
无非是大家卖关子的方式不太一样而已。
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“空间变换？”
“对，你是学计算机的，不是学数学的，所以不要去死扣教材上的概念。
听起来你们教授上课只是教你们如何计算而已。达到这个教学目標的確只需要背公式就足够了。”
乔源解释道。
“然后呢？”夏汐月虚心的继续问道。
“把矩阵当成了空间变换就很好理解特徵值了。丟一个向量给矩阵，然后就能得出一个新的向量。
比如现在有一个2x2的矩阵a，你隨便拿一个向量乘它，就会得到一个新的向量。这一过程中它们的几何意义会发生一些改变。
在坐標轴上的看来就是向量的方向变了。当然这是最简单的一种情况，但绝大多数的情况下，通过矩阵乘法方向都会发生变化。
特徵值就代表那些特殊情况。算的多了你就会发现有些特殊的向量乘了矩阵之后，它们的方向並没有改变。
它们在坐標轴上的指向依然跟在变换之前一样，区別只是这条线被拉长或者缩短了。
这一类经过矩阵变化但方向不变的向量就是特徵向量，这些向量被拉长或者缩短的倍数就是你无法理解的特徵值。
把这个理解套进你已经背下来的公式，也就是av等於λv。答案就很明显了。
a代表矩阵，v则代表向量，也就是矩阵a对向量v做了一次变换，等號代表线两端指向的方向不变，但是长度变成了之前的入倍。
更深入的理解，你会发现入的值决定了变换之后的结果。比如入大於1代表变长了，小於1但大於零，代表缩短了。
如果小於0则代表不但被拉伸了，还被反射。如果等於零，则代表著降维，从线变成了点。也是课本上说的压缩到了零向量。
夏汐月恍然大悟的点起头来。
“所以你们研究数学就是这样联想的？”
“也不全是，会更复杂。”
乔源耐心的答道：“因为推广到一些复杂情况，这些东西会很抽象。比如无限维空间中的算子。
举个例子，一个函数空间，向量是一个函数，空间由无限多个基函数张成。
算子也已经不是矩阵，而是对函数的操作。这就更自由了。代价就是已经没法用可视化来做比喻。
你们计算机可能不需要学数学物理，你接触一下就知道。比如波函数，给你一个动量算子操作，来求特徵值。
而且到了无限维，算子还可能是不连续的。比如微分算子作用在函数上，函数一个微小跳跃，导数就会爆炸。
这可能需要等你接触到狄利克雷函数的导数处处不连续就能理解了。所以很多数学文章里会去定义弱收敛，强收敛，否则就无法保证解的存在性。
所以像你问的这些简单定义我还能用比较直观的几何方式给你解释。但推广到无限维之后，我能想到，但没法用语言去解释。
我打个比方啊，傅立叶变换会將时域函数旋转到频域，这个操作我脑子里的函数构成都被彻底改变了，而且是非常复杂的变化，我不知道该怎么去描述。”
夏汐月仔细思索了半晌，才开口说道：“你的意思是在时域函数做傅立叶变换的时候脑子里都能產生画面感？”
乔源点了点头。皱著眉头思索了片刻才说道：“一定要做个描述的话，就好像原本是一团不同顏色的乱麻纠缠在一起。
经过变换之后，这些乱麻被分出了顏色，然后相对整齐的排列在一起。对不起，虽然这个描述还是不那么准確，但已经是我能想到最贴切的形容了。”
夏汐月嘆了口气。
“哎————人跟人的差別也太大了吧？”
乔源一时间不知道该怎么继续聊下去。
有些东西的確很难解释。尤其是到了抽象数学的领域。
以前他以为大家都是一样的。能找到那些抽象中的关键脉络。
但现在他知道这是一种很难得的能力。
不管是陆院士还是袁老，他们看重的都是他这种能力。
以前乔源也无法理解为什么老师刚讲过一道数学题，只是稍微变形，本质还是一模一样的，一堆人马上就不会做了。
但现在乔源大概理解了，太多人根本无法看透题目背后本质的东西。
从这一点说，他觉得夏汐月就很聪明。
起码她在试图去理解一个重要数学概念，而不是简单的按照教授的要求给死记硬背下来。
前者的好处是，能將这个概念灵活的用於很多地方。后者则只能用来做计算题————
总之能有这种意识就已经很不错了。
乔源没有回答，问完了问题后夏汐月大概也在消化刚才乔源说的內容，两人就这样默默走到了图书馆。
刚进门，乔源又主动说了句：“说实话，你学计算机其实不需要对数学最前沿的那些东西有太深入的了解。
因为意义不大。很多数学方面的定理只需要会用就足够了。一定要较真的话，会很累。
就比如泰勒展开，很多工程师也不懂数学原理，但並不耽误他们去使用，甚至很多人用的比数学家要更熟练。”
夏汐月好奇的问道：“你怎么知道很多工程师都不懂泰勒展开的数学原理？”
乔源答道：“小时候我爸告诉我的。”
隨后又解释道：“我小时候自学数学分析讲级数展开的时候都遇到了这类问题，就问我爸原理。
他告诉这个他只会用，原理不懂，让我自己去查资料。还说很多工程师也不懂原理，但用得比大学教授熟练得多。”
解释完，乔源突然感觉没了什么底气。
小时候他对老爹的话从来都是深信不疑的。
不过现在回想起来，他其实有点怀疑自家老爹当时理直气壮、振振有词的说辞也可能只是在挽尊。
因为那时乔国庆还在经营那家维修电器的铺子。理论上说做家电维修好像也没太多机会接触什么正经工程师。
好在夏汐月也没深究这些。毕竟能在小时候就开始自学数学分析本就又是一种让正常人难以理解的行为模式。
毕竟哪个正常人会在大学之前接触泰勒展开呢？
好在进了图书馆就没这么多烦恼了。
两人都有事情要做，更別提图书馆本就要求安静。
不过今天的情况似乎有些不一样。
自习期间夏汐月的电话响了好几次。
每次都不得不走出图书馆的自习室到外面接电话。
就这样到自习结束，两人习惯性一起去南门吃宵夜的时候，乔源还没问夏汐月便主动说道：“刚刚学生会，团委都在通知。
国庆之后就会有京城的调查组进驻学校，开始对学校各方面进行调查。让我们学生会要配合学校做好各方面工作。”
乔源点头，然后脑子里下意识就浮现出袁意同走的时候说的那番话。
诸如什么做人不能太软，不要有什么伸手不打笑脸人的想法。
还有別看你们肖校长今天態度很好就以为他脾气好，真要是脾气好根本当不上校长————
乔源突然有种感觉，这次大概率还是他那两位导师又出手了。
通过这种方式教他该怎么做未来的一方学阀？还是在告诉他以后该怎么爱护学生？
可惜了，他还真猜不到最后会做到什么程度。
於是乔源忍不住问了句：“有没有说调查什么？”
夏汐月毫不犹豫的答道：“老师没说，不过一位师兄说是这次调查组规格很高，而且来的人也很多。
说是学生管理工作、教师职称管理考核，还有一些学科评审跟科研资金使用情况都要查，听说还有专门的审计专员。
不过这些也是那位师兄正好听到一位团委老师打听到的。还说千万別传出去”
。
“放心吧，我肯定不会跟別人说的。”乔源隨口承诺了句。
心里却开始感慨，这还————真狠啊！
也不知道校领导现在还能不能睡得著。
也就是这一刻，乔源对袁老口中的人不狠站不稳突然有了全新的认知。
彼得·萨纳克从床上起来时候已经是十点半。
虽然只睡了大概四个小时，但他此时觉得精神很充沛。
人到了一定年纪大概会走两个极端。绝大多数人会进入睡眠很浅的状態。
但彼得·萨纳克不一样。
他睡眠一直挺好的。而且只需要较短时间的休息，就能完全恢復精神。
当然他年轻的时候也属於那种少觉基因。
简单的洗漱之后，彼得·萨纳克没有忙著去读那篇还没读完的论文，而是先拿起电话，翻出了麦可·乔丹的號码，然后打了过去。
事实上他早上就想打这个电话了。不过考虑到他跟麦可·乔丹之间还没熟到可以毫无顾忌的打扰对方休息的地步，还是选择了起床之后再拨这个號码。
——
他希望能得到麦可·乔丹对乔源第一篇论文的真实评价。
很快电话接通。
“嗨，麦可，最近如何？”
“很幸运，还活著呢。当然如果能够拿到被无端剋扣的经费大概能更好一点。
"
“哎————都一样。”
不需要说的太多，大家都知道对方指的什么。
说起来普林斯顿要比加州那些大学要稍微好那么一点。
当然好的也有限。
总之当蛋糕不够分了，从天而降的一刀终究还是落到了他们这些教授的头上。
不过话又说回来，如果连麦可·乔丹都觉得开始缺钱了，那说明情况很严重了。
毕竟大家都知道这位人工智慧之父跟很多公司都有较为深入的交流跟合作，所以压根就不太可能缺项目。
“有什么事吗？彼得，我这边马上还有个会要开。”
麦可·乔丹主动说道。
“是的，你最近审核了一篇来自於华夏，嗯，叫————qiao的论文，对吧？”
“是的，我对这篇论文印象很深刻，他的研究对我正在做的一个课题帮助很大。我想跟他们合作，可惜被拒绝了。
“”
“也就是说你很看好这篇论文？”
“当然，首先你要告诉我是哪方面的看好。”
犹豫了片刻，彼得·萨纳克还是如实把情况说了出来：“他近期跟另一人合作，投给了数学年刊一篇论文，解决了勒让德猜想。
我作为审稿人已经大致看过了论文，这篇论文的核心引用了你审核那篇论文的一个重要引理。”
吐露的实情也瞬间让电话对面的麦可·乔丹来了兴趣。
“哈，我明白了，难怪袁会卖关子！”
“什么卖关子？”
“他不肯告诉我qiao的身份，只说不久之后我肯定有机会认识他！原来如此”
o
彼得·萨纳克恍然。
的確，一个数学新人，看上去主攻的数学优化，但一出手却解决了勒让德猜想，並在优化理论跟数论之间架起一座桥樑。
这样的数学新人的確会快速引起世界数学界的注意。
“但他是怎么办到的？！让我想想————虽然我是审稿人，但我实在想不出哪个引理会跟勒让德猜想扯上关係！”
“麦可，是我先打电话问你的！”
“哦！好吧，好吧！如果你要问我对那篇论文的评价，我的答案是证明思路近乎完美。
知道吗？最初我是让我的学生审核，但他又把论文给我。当我发现这篇论文跟我最近的研究有相关之处，我是抱著挑剔的心態去审核这篇论文的。
但我依然没有找到任何逻辑漏洞。当然也可能是我的水平不够，有些漏洞我没有发现。
不过你既然是问我的个人看法，那就是完美！”
得到了答案之后，彼得·萨纳克乾脆的开口说道：“谢谢你，麦可，再见。
"
“等等，你还没告诉我是哪个引理建立的联繫。”
“你確定要现在聊？我记得你刚才说要开会了。如果你不嫌说来话长的话——
”
“好吧，我等会儿再给你回电话，再见！”
掛了电话，彼得·萨纳克耸了耸肩，隨手把电话设置成了语音信箱的模式。
他要让麦可·乔丹知道，不止是华夏人会卖关子。
无非是大家卖关子的方式不太一样而已。
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