第4章 我怎么会没想到呢？
“命题1.1：设 j:?^d→?是 m-强凸(m > 0)且 l-光滑(l <∞)的函数。考虑经典过阻尼 langevin扩散： dx_t =-?j(x_t)dt +σ db_t， x_0 = x?其中 b_t是標准 d-维 brownian运动……”
这的確不是论文，没有標题、目录、没有引言跟导语，格式也跟规范不沾边，而且手机拍摄的手稿照片看起来也不太方便。
但却让苏志坚看得无比认真，比看他正经学生提交的正经论文还认真。
此刻，苏志坚的办公室里安静到落针可闻。
直接看到第一个结论，苏志坚才抬头看了眼已经坐在他对面似乎在发呆的乔源。
“……结合 b的全局 lipschitz性，sde有唯一强解，且由harris定理，存在唯一不变概率测度μ_σ。
其密度由fokker-planck方程稳態解给出：0 =?·[?j(x)μ_σ(x)]+(σ2/2)Δμ_σ(x)直接验证μ_σ(x)= z^{-1} exp(-2j(x)/σ2)(z是归一化常数)是解。”
创造性的漂移项性质，扩散项选取，以及lyapunov函数构造，利用j的强凸性和光滑性，解决了指数遍歷性问题。
苏志坚稳了稳心神，收回目光，开始看向收敛性证明。
这一块乔源利用的耦合方法跟泛函不等式。
“令 z_t = x_t^x - x_t^y。则 dz_t =-[?j(x_t^x)-?j(x_t^y)]dt……”
“呼……”
看完第二部分后，苏志坚长出了口气。
原因无他，接连两个部分，他粗看之下竟然没找出什么问题。
虽然格式很糟糕，或者说看不出格式，但证明思路非常严谨。
除去一些证明过程被跳了过去外，当然这对浸淫这个问题许久的苏志坚来说，绝大部分跳过的证明过程，他都能脑补上。
小部分可能需要跟乔源探討……
苏志坚忍不住再次抬头看了眼坐在对面的孩子，有那么一瞬间，他开始怀疑这小子的本科生身份。
他是早就知道乔源极有数学天赋的，但打死他都没想到这天赋能高到这个份儿上！
接下来是最重要的收敛速率共振跟共振现象显现问题的处理了。
苏志坚收敛了心神，再次翻动起手机图片……
因为看得仔细，这次耗时也很长，大概半个小时后，苏志坚终於看到了结论。
“对固定精度δ，存在最优噪声强度σ*=\sqrt{2δ/ d}，使得达到精度δ的时间最短。共振发生！σ*隨δ减小而减小(δ→ 0?σ*→ 0)。”
此时的苏志坚大脑一片空白。
只剩下一个声音在不停的反覆质问自己：“我特么怎么就没能想到可以利用熵衰减跟bakry-émery理论？！”
定了定心神，当苏志坚再次抬头看向对面那张青涩的脸，只觉得这个本科生是个妖孽……
智多近乎妖……
“这些……真是你独立证明出来的？”
苏志坚认真的问道。
乔源点了点头，开口解释道：“不过暑假我看了很多书跟网上关於一些问题讲解的视频。”
“呼……这些不重要，你先坐过来给我讲讲这几处的思考路线。”
说著，苏志坚的手飞快的开始在手机上滑动，直到找到对应的图片。
“这里根据前面的推论，阿尔法的平方应该小於等於o(δ/d)，因为噪声不能太大。
但同时噪声也不能太小，因为如果太小就会导致μ_σ过於集中，而langevin扩散的收敛速率是依赖於阿尔法的，所以……”
就这样一个问，一个答，很快就把整个证明过程梳理了一遍。同时也让苏志坚確认了，这个证明的確是乔源的成果。
毕竟数学的思考过程是没办法作假的。靠別人，最多只能做到知其然不知其所以然。
一时间苏志坚突然感觉有些恍惚，他再次想到了已经仙去的导师陈院士。
他还记得当年陈院士喜欢他的原因就是因为觉得他数学方面的悟性高，有衝劲，喜欢挑战高难度命题。
这才破例把他收入门下，並在他加入师门之后，直接告知了学校不再收研究生，他也顺理成章的成了关门弟子。
但现在他突然觉得他那点悟性跟眼前这个孩子比起来一文不值。
乔源才刚刚大三啊，才上了两年的数学专业课。这个证明过程中用到的很多定理跟数学思想，他应该还没接触过，许多甚至是研究生阶段才开始学习的內容。
但这傢伙竟然全靠自学灵活掌握了？
这让苏志坚觉得他之前对乔源的评价还是太保守了。
这何止是华清、燕北隨便去？这天赋曝光出去，即便是世界公认前几位的高校，大概都要抢的！
毕竟哪家高校不想未来能多一个菲尔兹奖得主呢？
沉默了半晌，苏志坚才开口感慨道：“我看手机上显示这些照片都是你上个月16號拍的，怎么你没早跟我说？”
乔源解释道：“我觉得无限维太难了，所以考虑从有限维一些特殊的非光滑情形入手，未来再逐步推广到非凸、无穷维的情况。
现在也只解决了带l1正则这类的凸问题，我不知道有没有用，也不知道师兄师姐们是不是早就已经攻克了这个问题……
所以我本来是打算等到有推广到无穷维思路之后再跟你匯报跟探討的。谁知道你突然就要走了。”
苏志坚也沉默了。
其实他之前给乔源提出这个命题的时候，只是让这个孩子去多做思考，让乔源能有更大的动力投入相关数学分析的学习，压根就没想过乔源真能做出成果。
鼓励乔源参加每周的组会，甚至安排组会时间刻意绕开乔源的上课时间，也是不过是为了让这孩子能提前適应研究生的氛围。
说白了就是让本科生提前体验一下做学术研究到底是怎么个事儿而已。
这也是高校优秀本科生计划的初衷，压根没人指望这些本科生真能做出什么成绩来。
所以他也真没想到乔源还真把这个命题当成了必须完成的任务。
这么一对比，他突然觉得自己这些年在江大招收的这些研究生都是些什么玩意儿……
甚至之前他还不能理解以前导师为什么对他那么好，但现在突然一下就理解了。
遇到一个能够帮助自己研究继承自己衣钵的学生，原来是这种感觉啊！
可惜的是，苏志坚还没结婚，所以还不太清楚父亲对儿子是什么感觉。
但他此刻是真的觉得乔源如果是他亲儿子就好了……
这的確不是论文，没有標题、目录、没有引言跟导语，格式也跟规范不沾边，而且手机拍摄的手稿照片看起来也不太方便。
但却让苏志坚看得无比认真，比看他正经学生提交的正经论文还认真。
此刻，苏志坚的办公室里安静到落针可闻。
直接看到第一个结论，苏志坚才抬头看了眼已经坐在他对面似乎在发呆的乔源。
“……结合 b的全局 lipschitz性，sde有唯一强解，且由harris定理，存在唯一不变概率测度μ_σ。
其密度由fokker-planck方程稳態解给出：0 =?·[?j(x)μ_σ(x)]+(σ2/2)Δμ_σ(x)直接验证μ_σ(x)= z^{-1} exp(-2j(x)/σ2)(z是归一化常数)是解。”
创造性的漂移项性质，扩散项选取，以及lyapunov函数构造，利用j的强凸性和光滑性，解决了指数遍歷性问题。
苏志坚稳了稳心神，收回目光，开始看向收敛性证明。
这一块乔源利用的耦合方法跟泛函不等式。
“令 z_t = x_t^x - x_t^y。则 dz_t =-[?j(x_t^x)-?j(x_t^y)]dt……”
“呼……”
看完第二部分后，苏志坚长出了口气。
原因无他，接连两个部分，他粗看之下竟然没找出什么问题。
虽然格式很糟糕，或者说看不出格式，但证明思路非常严谨。
除去一些证明过程被跳了过去外，当然这对浸淫这个问题许久的苏志坚来说，绝大部分跳过的证明过程，他都能脑补上。
小部分可能需要跟乔源探討……
苏志坚忍不住再次抬头看了眼坐在对面的孩子，有那么一瞬间，他开始怀疑这小子的本科生身份。
他是早就知道乔源极有数学天赋的，但打死他都没想到这天赋能高到这个份儿上！
接下来是最重要的收敛速率共振跟共振现象显现问题的处理了。
苏志坚收敛了心神，再次翻动起手机图片……
因为看得仔细，这次耗时也很长，大概半个小时后，苏志坚终於看到了结论。
“对固定精度δ，存在最优噪声强度σ*=\sqrt{2δ/ d}，使得达到精度δ的时间最短。共振发生！σ*隨δ减小而减小(δ→ 0?σ*→ 0)。”
此时的苏志坚大脑一片空白。
只剩下一个声音在不停的反覆质问自己：“我特么怎么就没能想到可以利用熵衰减跟bakry-émery理论？！”
定了定心神，当苏志坚再次抬头看向对面那张青涩的脸，只觉得这个本科生是个妖孽……
智多近乎妖……
“这些……真是你独立证明出来的？”
苏志坚认真的问道。
乔源点了点头，开口解释道：“不过暑假我看了很多书跟网上关於一些问题讲解的视频。”
“呼……这些不重要，你先坐过来给我讲讲这几处的思考路线。”
说著，苏志坚的手飞快的开始在手机上滑动，直到找到对应的图片。
“这里根据前面的推论，阿尔法的平方应该小於等於o(δ/d)，因为噪声不能太大。
但同时噪声也不能太小，因为如果太小就会导致μ_σ过於集中，而langevin扩散的收敛速率是依赖於阿尔法的，所以……”
就这样一个问，一个答，很快就把整个证明过程梳理了一遍。同时也让苏志坚確认了，这个证明的確是乔源的成果。
毕竟数学的思考过程是没办法作假的。靠別人，最多只能做到知其然不知其所以然。
一时间苏志坚突然感觉有些恍惚，他再次想到了已经仙去的导师陈院士。
他还记得当年陈院士喜欢他的原因就是因为觉得他数学方面的悟性高，有衝劲，喜欢挑战高难度命题。
这才破例把他收入门下，並在他加入师门之后，直接告知了学校不再收研究生，他也顺理成章的成了关门弟子。
但现在他突然觉得他那点悟性跟眼前这个孩子比起来一文不值。
乔源才刚刚大三啊，才上了两年的数学专业课。这个证明过程中用到的很多定理跟数学思想，他应该还没接触过，许多甚至是研究生阶段才开始学习的內容。
但这傢伙竟然全靠自学灵活掌握了？
这让苏志坚觉得他之前对乔源的评价还是太保守了。
这何止是华清、燕北隨便去？这天赋曝光出去，即便是世界公认前几位的高校，大概都要抢的！
毕竟哪家高校不想未来能多一个菲尔兹奖得主呢？
沉默了半晌，苏志坚才开口感慨道：“我看手机上显示这些照片都是你上个月16號拍的，怎么你没早跟我说？”
乔源解释道：“我觉得无限维太难了，所以考虑从有限维一些特殊的非光滑情形入手，未来再逐步推广到非凸、无穷维的情况。
现在也只解决了带l1正则这类的凸问题，我不知道有没有用，也不知道师兄师姐们是不是早就已经攻克了这个问题……
所以我本来是打算等到有推广到无穷维思路之后再跟你匯报跟探討的。谁知道你突然就要走了。”
苏志坚也沉默了。
其实他之前给乔源提出这个命题的时候，只是让这个孩子去多做思考，让乔源能有更大的动力投入相关数学分析的学习，压根就没想过乔源真能做出成果。
鼓励乔源参加每周的组会，甚至安排组会时间刻意绕开乔源的上课时间，也是不过是为了让这孩子能提前適应研究生的氛围。
说白了就是让本科生提前体验一下做学术研究到底是怎么个事儿而已。
这也是高校优秀本科生计划的初衷，压根没人指望这些本科生真能做出什么成绩来。
所以他也真没想到乔源还真把这个命题当成了必须完成的任务。
这么一对比，他突然觉得自己这些年在江大招收的这些研究生都是些什么玩意儿……
甚至之前他还不能理解以前导师为什么对他那么好，但现在突然一下就理解了。
遇到一个能够帮助自己研究继承自己衣钵的学生，原来是这种感觉啊！
可惜的是，苏志坚还没结婚，所以还不太清楚父亲对儿子是什么感觉。
但他此刻是真的觉得乔源如果是他亲儿子就好了……